设有两空间线段
$L_s$，其起点、终点坐标为$ s_0、s_1 $，方向向量$\vec u = s_1-s_0 $
$L_t$，其起点、终点坐标为$ t_0、t_1 $，方向向量$\vec v = t_1-t_0 $
记两线段对应的直线为$l_s、l_t$，采用向量表示法如下：
$$l_s = s_0+c_s\cdot\vec u$$
$$l_t = t_0+c_t\cdot\vec v$$当$0\le c_s、c_t\le1$时，上述两式表达设最短距离两点分别为$s_j$、$t_j$，则有$$s_j = s_0+s_c\cdot\vec u$$$$t_j = t_0+s_c\cdot\vec v$$其中$s_c$、$t_c$为$s_j$、$t_j$两点所对应的标量。记向量$\vec w$=$s_j-t_j$，记向量$\vec w_0$=$s_0-t_0$，根据下图可以得出：
$$\vec w=s_0+s_c\cdot\vec u-(t_0+t_c\cdot\vec v)$$ 即：$$\vec w=\vec w_0+s_c\cdot\vec u-t_c\cdot\vec v\qquad(公式1)$$ 如果$s、t$两条直线不平行、重合，则存在唯一的两点$s_c、t_c$使线段$\overrightarrow {s_ct_c}$为$l_s、l_t$最近两点的连线。同时，线段$\overrightarrow {s_ct_c}$也是唯一与两条直线同时垂直的线段。转换为向量表达即为：$$\vec u\cdot\vec w=0\qquad\vec v\cdot\vec w=0$$将公式1代入上述两式可得$$（\vec u\cdot\vec u）s_c-（\vec u\cdot\vec v）t_c=-\vec u\cdot\vec w_0\qquad(公式2)$$$$（\vec v\cdot\vec u）s_c-（\vec v\cdot\vec v）t_c=-\vec v\cdot\vec w_0\qquad(公式3)$$记$a=\vec u\cdot\vec u，b=\vec u\cdot\vec v，c=\vec v\cdot\vec v，d=\vec u\cdot\vec w_0，e=\vec v\cdot\vec w_0$，代入上述方程则可得： $$\qquad s_c = \frac {be-cd}{ac-b^2}\qquad(公式4)$$$$\qquad t_c = \frac {ae-bd}{ac-b^2}\qquad(公式5)$$注意到上式中分母：$$ac-b^2=\vec u\cdot\vec u\times\vec v\cdot\vec v-（\vec u\cdot\vec v）^2$$$$\Rightarrow ac-b^2=\vert\vec u\vert^2\cdot\vert\vec v\vert^2-(\vert\vec u\vert\cdot\vert\vec v\vert\cdot cosq)^2=(\vert\vec u\vert\cdot\vert\vec v\vert\cdot sinq)^2\ge0$$当$ac-b^2=0$时，公式2和公式3相互独立，则两直线平行，直线间的距离为一常数，我们可以在任意一条直线上指定一固定点，然后代入公式求距离。我们可以指定$s_c=0$然后可以求得$t_c=\frac {d}{b}=\frac{e}{c}$。当求出$s_c、t_c$我们即可求得$s_j、t_j$两点，则两点之间的距离可按下式求解：$$d(l_s,l_t)=\vert s_j-t_j\vert=\vert s_0-t_0+\frac {(be-cd)\vec u- (ae-bd)\vec v}{ac-b^2}\vert$$ 具体实现代码如下（C#实现）：
public bool IsEqual(double d1, double d2){ if (Math.Abs(d1 - d2) < 1e-7) return true; return false;} public double SqureDistanceSegmentToSegment(double x1, double y1, double z1, double x2, double y2, double z2, double x3, double y3, double z3, double x4, double y4, double z4){ // 解析几何通用解法，可以求出点的位置，判断点是否在线段上 // 算法描述：设两条无限长度直线s、t,起点为s0、t0，方向向量为u、v // 最短直线两点：在s1上为s0+sc*u，在t上的为t0+tc*v // 记向量w为(s0+sc*u)-(t0+tc*v),记向量w0=s0-t0 // 记a=u*u，b=u*v，c=v*v，d=u*w0，e=v*w0——(a)； // 由于u*w=、v*w=0，将w=-tc*v+w0+sc*u带入前两式得： // (u*u)*sc - (u*v)*tc = -u*w0 (公式2) // (v*u)*sc - (v*v)*tc = -v*w0 (公式3) // 再将前式(a)带入可得sc=(be-cd)/(ac-b2)、tc=(ae-bd)/(ac-b2)——（b） // 注意到ac-b2=|u|2|v|2-(|u||v|cosq)2=(|u||v|sinq)2不小于0 // 所以可以根据公式（b）判断sc、tc符号和sc、tc与1的关系即可分辨最近点是否在线段内 // 当ac-b2=0时，(公式2)(公式3)独立，表示两条直线平行。可令sc=0单独解出tc // 最终距离d（L1、L2）=|（P0-Q0)+[(be-cd)*u-(ae-bd)v]/(ac-b2)| double ux = x2 - x1; double uy = y2 - y1; double uz = z2 - z1; double vx = x4 - x3; double vy = y4 - y3; double vz = z4 - z3; double wx = x1 - x3; double wy = y1 - y3; double wz = z1 - z3; double a = (ux * ux + uy * uy + uz * uz); //u*u double b = (ux * vx + uy * vy + uz * vz); //u*v double c = (vx * vx + vy * vy + vz * vz); //v*v double d = (ux * wx + uy * wy + uz * wz); //u*w double e = (vx * wx + vy * wy + vz * wz); //v*w double dt = a * c - b * b; double sd = dt; double td = dt; double sn = 0.0;//sn = be-cd double tn = 0.0;//tn = ae-bd if (IsEqual(dt, 0.0)) { //两直线平行 sn = 0.0; //在s上指定取s0 sd = 1.00; //防止计算时除0错误 tn = e; //按(公式3)求tc td = c; } else { sn = (b * e - c * d); tn = (a * e - b * d); if (sn < 0.0) { //最近点在s起点以外，同平行条件 sn = 0.0; tn = e; td = c; } else if (sn > sd) { //最近点在s终点以外(即sc>1,则取sc=1) sn = sd; tn = e + b; //按(公式3)计算 td = c; } } if (tn < 0.0) { //最近点在t起点以外 tn = 0.0; if (-d < 0.0) //按(公式2)计算，如果等号右边小于0，则sc也小于零，取sc=0 sn = 0.0; else if (-d > a) //按(公式2)计算，如果sc大于1，取sc=1 sn = sd; else { sn = -d; sd = a; } } else if (tn > td) { tn = td; if ((-d + b) < 0.0) sn = 0.0; else if ((-d + b) > a) sn = sd; else { sn = (-d + b); sd = a; } } double sc = 0.0; double tc = 0.0; if (IsEqual(sn, 0.0)) sc = 0.0; else sc = sn / sd; if (IsEqual(tn, 0.0)) tc = 0.0; else tc = tn / td; double dx = wx + (sc * ux) - (tc * vx); double dy = wy + (sc * uy) - (tc * vy); double dz = wz + (sc * uz) - (tc * vz); return dx * dx + dy * dy + dz * dz;} 参考文献：